【解线性方程组】

欠定方程、超定方程高斯消元法用一系列“合法操作”即初等变换把复杂的线性方程组变成一个“阶梯形”的简单方程组从而一步步倒推出所有未知数的解。“高斯消元法实现了对给定向量组的正交化筛选通过行空间不变的初等变换将张成组简化为行最简形使得主元列彼此之间在坐标位置上完全隔离、互不干扰其线性无关性成为结构上无需证明的直观事实。”初等变换,操作说明交换两行不改变解空间某一行乘以非零数某一行加上另一行的倍数初等矩阵对单位矩阵做一次初等变换后得到的矩阵。证明高斯消元使用的每一种初等行变换都是可逆的等价变形。交换两条方程就是交换约束的顺序一条方程乘以非零数乘以非零数后因为可以再除回来一条方程加上另一条方程的倍数设原方程组中有两条方程E10,E20 E_10,\qquad E_20E1​0,E2​0现在保留E1E_1E1​不变把E2E_2E2​替换为E2λE10 E_2\lambda E_10E2​λE1​0如果某个解满足E10,E20 E_10,\qquad E_20E1​0,E2​0那么它当然也满足E2λE10 E_2\lambda E_10E2​λE1​0反过来如果某个解满足E10,E2λE10 E_10,\qquad E_2\lambda E_10E1​0,E2​λE1​0那么E2(E2λE1)−λE10 E_2(E_2\lambda E_1)-\lambda E_10E2​(E2​λE1​)−λE1​0因此新旧方程组可以互相推出解集完全相同。本质上这个操作是可逆的所以高斯消元只是重新整理约束条件不会改变解集。高斯消元不保证每一条直线保持不变这是最容易混淆的地方。高斯消元并不是说原来的每条直线变换后还是原来的那条直线。实际上行变换以后每条方程所代表的几何对象可能变了。它只保证所有方程的公共解集保持不变。例如原来是L1​∩L2​消元后变成L1​∩(L2​−2L1​)高斯消元vsvsvs高斯-若尔当消元方法特点高斯消元只消成上三角然后回代效率较高高斯-若尔当消元继续消成行最简形对角线为1上下都消干净可以直接读出解但计算量更大LULULU分解秩矩阵的rankrankrank秩最本质的定义是矩阵的秩是行空间和列空间的共同维数。矩阵的列空间的一组基所含向量个数叫列秩矩阵的行空间的一组基所含向量个数叫行秩。由于行秩和列秩恒相等因此这个共同的数叫矩阵的秩。这里要深刻理解几个问题1-为什么高斯消元法处理后不为零的行就是最大线性无关组的向量个数2-为什么行秩和列秩相等。特征值