【GAMES101笔记速查——Lecture 03 Transformation】，附罗德里格斯公式详细推导

目录1.为什么要学习变换(Why Transformation)1.1 模型变换(Modeling)1.2 视图变换(Viewing)2. 二维仿射变换2.1 缩放(scale)2.1.1 镜像(reflection2.1.2 错切(shear(1) 错切变换矩阵推导2.2 旋转(rotate)默认以原点为中心逆时针旋转1推导方法1通过两个特殊点构建方程组求解2推导方法2运用极坐标系与直角坐标系的关系2.3 平移3.齐次坐标3.1二维齐次坐标3.1.1 二维齐次坐标的定义3.1.2 使用二维齐次坐标表示仿射变换3.1.3 使用二维齐次坐标表示复合变换3.1.4 如何表示更复杂的变换绕平面任意一点c旋转3.2三维齐次坐标3.2.1 三维齐次坐标的定义3.2.2 使用三维齐次坐标表示仿射变换3.2.3 使用三维齐次坐标表示复合变换3.2.4 如何表示更复杂的变换绕三维空间任意一个轴n旋转α角度1.为什么要学习变换(Why Transformation)以下的这些相关工作都会用到变换的知识所以我们要学习变换。1.1 模型变换(Modeling)摄影机的位置移动机器人的关节移动动画中字母I被压扁的过程1.2 视图变换(Viewing)从3D到2D的投影变换2. 二维仿射变换仿射变换 线性变换 平移变换缩放、旋转属于线性变换因为这两种变换的坐标原点固定、空间网格不弯曲。平移操作改变了原点的位置所以不属于线性变换的范畴。详见3B1B系列课程2.1 缩放(scale)变换矩阵如图变换后的x坐标变为原来sx的倍y坐标变为原来的sy倍2.1.1 镜像(reflection2.1.2 错切(shear(1) 错切变换矩阵推导观察图片变换特点纵坐标变换前后不变。观察三个坐标点00移动后变为0000.5移动后变为0.5*a0.5(01)移动后变为1*a1。总结规律纵坐标变换前后不变横坐标都在原来的横坐标基础上加了一个a倍的纵坐标。2.2 旋转(rotate)默认以原点为中心逆时针旋转1推导方法1通过两个特殊点构建方程组求解10变换后为cosθsinθ利用此关系可以通过解方程的方式求出变换矩阵中的未知数A与未知数C。01变换后为-sinθ cosθ。同理。2推导方法2运用极坐标系与直角坐标系的关系如图记向量长度为r则不难得到将旋转之后的b的坐标x,y用如下表示将xa,ya的表达式代入得此时利用线性代数知识不难得出旋转矩阵的结果。3补充顺时针旋转矩阵逆时针旋转矩阵的逆逆时针旋转矩阵的转置2.3 平移平移变换不能用矩阵乘以向量的形式表示它不属于线性变换。3.齐次坐标人们不希望将平移变换看作一个单独的、特殊的变换因为额外处理比较麻烦。所以引入了一种将所有仿射变换统一起来的表示方法齐次坐标3.1二维齐次坐标3.1.1 二维齐次坐标的定义加一个维度点的第三维是1向量的第三维是0齐次坐标下的一些运算规则如图3.1.2 使用二维齐次坐标表示仿射变换线性变换矩阵扩充为3×3原本2×2的数值不变第3行、第3列的元素为1其余新增元素为0。平移变换矩阵扩充为3×3主对角线为1最后一列、前两行的元素为tx、ty。3.1.3 使用二维齐次坐标表示复合变换先旋转、后平移才可以达到如图所示的变换结果特别注意做变换时候的顺序。矩阵左乘顺序与变换的顺序保持一致矩阵乘法可以使用结合律将复合变换的多个变换矩阵浓缩为一个矩阵。3.1.4如何表示更复杂的变换绕平面任意一点c旋转先将点c平移到原点再绕原点旋转再平移回去。3.2三维齐次坐标3.2.1 三维齐次坐标的定义3.2.2 使用三维齐次坐标表示仿射变换注意这里4*4的变换矩阵表示的变换顺序是先线性变换、后平移缩放变换和平移变换的矩阵与二维齐次坐标下的表示方式类似三维空间的旋转变换则相对复杂一些注意绕y轴旋转的时候符号所在的位置与其他两种旋转形式不同如何理解与旋转的方向有关z叉乘x才得到y。绕y轴顺时针旋转theta角度 等价于 绕-y轴旋转逆时针旋转-theta角度把公式角度带成-theta即可这样想很简单3.2.3 使用三维齐次坐标表示复合变换任何一个三维空间的旋转运动都可以分解为绕三个坐标轴分别旋转的操作或者说将三个轴的旋转矩阵复合就可以完成任何一个三维空间中的旋转。绕每个轴旋转的角度被称为“欧拉角”。这里常常用飞机飞行的例子来形象地说明罗德里格斯旋转公式这里需要找些资料手推一遍绕过原点的n轴旋转α角度。N曾经在向量叉积的表示中出现过推导过程如下查阅很多资料后自己写了一下详细的罗德里格斯旋转公式推导过程3.2.4 如何表示更复杂的变换绕三维空间任意一个轴n旋转α角度对于绕不过原点的轴旋转我们可以借助之前逆矩阵的思想将解决步骤拆分为·将旋转轴平移到原点·绕轴旋转·再将旋转后的模型平移回去